M5.3. Mouvement sans suspension.

On note  la partie réelle d'un nombre complexe .

Données numériques : Champ de pesanteur : g = 9,81ms^-2.

Le système est un solide, assimilé à une masse ponctuelle M, simplement posé sur le sol, plan et horizontal. Les mouvements du sol et de la masse sont supposés purement verticaux. L'axe vertical Oz, de vecteur unitaire , est orienté vers le haut.
A partir de l'instant t = 0, le sol est animé de vibrations verticales d'élongation :

 

 

1.    Écrire l'équation différentielle en z du mouvement de la masse dans le référentiel galiléen constitué du sol immobile dans les cas suivants :
a. La masse M reste en contact avec le sol lors du tremblement.
b. La masse M n’est plus en contact avec le sol lors du tremblement. Sa cote par rapport au sol en mouvement est alors notée Z.
En déduire la valeur algébrique a_M  de l’accélération a_S(t) du sol qui sépare ces deux états de la masse M. Préciser le mouvement de M dans le cas où |a_S(t)| < |a_M| à tout instant.

2.    On suppose maintenant que l'accélération du sol peut dépasser a_M en valeur absolue.
2.1. Déterminer la date t_D de décollage de la masse M du sol en vibration.
       En déduire l’altitude  à laquelle la masse M quitte le sol.
2.2. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, déterminer l'altitude maximale z_M atteinte en fonction de z₀, ω et g.
2.3. Calculer la durée de la phase de vol libre comprise entre l'instant du décollage de la masse et celui où elle repasse par l'altitude z_D.
3.      Application : on considère une route imparfaitement plane, comportant une succession de bosses que l'on assimilera à une sinusoïde de période spatiale λ = 2 m et de hauteur crête-crête 2z₀ = 5 cm.
3.1.  Quelle est la vitesse maximale v_max à laquelle un véhicule totalement rigide peut parcourir cette route sans décoller ?