M4.7. Microscope à force atomique.

De nouvelles techniques dites de "microscopie à champ proche" se sont développées pour étudier les surfaces. Parmi ces techniques, le microscope à force atomique permet de déterminer les caractéristiques topographiques, électriques ou magnétiques de la surface étudiée en mesurant la force exercée sur une fine pointe fixée à l'extrémité d'un levier élastique et placée à une distance comprise entre une fraction et quelques dizaines de nanomètres de la surface. Ce problème étudie le comportement mécanique de l'ensemble levier-pointe dans un de ces modes de fonctionnement dit "contact".
 

Dans tout le problème, on modélise le système levier-pointe par une masse ponctuelle m fixée à un ressort sans masse, de longueur à vide nulle et de raideur k. La position instantanée de la pointe est notée z(t), l'origine des ordonnées étant prise sur la surface à étudier. On note d la distance entre la surface et l'extrémité du ressort. On suppose de plus que l'interaction pointe-surface est décrite par une énergie potentielle notée U(z). La force correspondante sera notée F(z). On néglige la force de pesanteur.

 

En mode dit "contact", lorsque la pointe est approchée de la surface, elle est soumise à une force atomique qui induit une déflexion du levier que l'on peut mesurer optiquement avec une grande sensibilité. On s'intéresse ici à quelques aspects de ce mode de fonctionnement liés à la stabilité des positions d'équilibre de la pointe.

 

1.        En supposant d fixée, et en notant z₀ une position d'équilibre de la pointe, écrire la condition d'équilibre de la pointe.

2.        Etablir l’équation différentielle du mouvement de la pointe.
En posant z = z₀ + ε avec ε << z₀ et en effectuant un développement limité de la force, montrer que la condition de stabilité de cet équilibre est :

 

 

On suppose dans toute la suite de cette partie que U(z) a pour expression:

      avec  et .

 

3.a  Représenter précisément les graphes de U(z) et F(z). Préciser les extremum et faire les applications numériques. Commenter.

3.b  Proposer une méthode graphique pour déterminer les positions d'équilibre de la pointe lorsque d est fixée.

4.    On suppose que la pointe est à l'équilibre à une distance z₀  de la surface telle qu'elle se trouve dans la partie répulsive de la courbe d'interaction (F(z₀) > 0). Cet équilibre est-il stable ? Montrer qu'une variation  de la distance d entraîne une variation  de la distance pointe surface donnée par :  

       En déduire que dans de telles conditions, une mesure de l'allongement du ressort lorsqu'on déplace la pointe au dessus de la surface donne directement la topographie de celle-ci.