M4.4. Microscope à force atomique.
On étudie une
technique dite de "microscopies à champ proche" : le microscope à force
atomique qui permet de déterminer les caractéristiques topographiques,
électriques ou magnétiques de la surface étudiée en mesurant la force
exercée sur une fine pointe fixée à l'extrémité d'un levier élastique et
placée à une distance comprise entre une fraction et quelques dizaines de
nanomètres de la surface. Ce problème étudie le comportement mécanique de
l'ensemble levier-pointe dans le mode dit « contact ».
Dans ce mode
"contact", lorsque la pointe est approchée de la surface, elle est soumise à
une force atomique qui induit une déflexion du levier que l'on peut mesurer
optiquement avec une grande sensibilité. On s'intéresse ici à quelques
aspects de ce mode de fonctionnement liés à la stabilité des positions
d'équilibre de la pointe.
Dans tout le
problème, on modélise le système levier-pointe par une masse ponctuelle m
fixée à un ressort sans masse, de longueur à vide nulle et de raideur
k. La position instantanée de la pointe est notée z(t),
l'origine des ordonnées étant prise sur la surface à étudier. On note d
la distance entre la surface et l'extrémité du ressort. On suppose de plus
que l'interaction pointe-surface est décrite par une énergie potentielle
notée U(z). La force correspondante sera notée F(z). On
néglige la force de pesanteur.
1.
En supposant d fixée, et en notant z0
une position d'équilibre de la pointe, écrire la condition d'équilibre de la
pointe.
2.
Etablir l’équation différentielle du mouvement de la pointe.
En posant z = z0 +
ε avec
ε <<
z0 et en effectuant un
développement limité de la force, montrer que la condition de stabilité de
cet équilibre est :
On suppose dans toute la suite de cette partie que U(z) a pour
expression:
avec
et
.
3.a Représenter précisément les graphes de U(z)
et F(z). Préciser les extremums et faire les applications numériques.
Commenter.
3.b Proposer une méthode graphique pour déterminer
les positions d'équilibre de la pointe lorsque d est fixée.
4. On suppose que la pointe est à
l'équilibre à une distance z0
de la surface telle qu'elle se trouve dans la partie répulsive de la courbe
d'interaction (F(z0) > 0). Cet
équilibre est-il stable ? Montrer qu'une variation
de la distance d entraîne une variation
de la distance pointe surface donnée par :
En déduire que dans
de telles conditions, une mesure de l'allongement du ressort lorsqu'on
déplace la pointe au dessus de la surface donne directement la topographie
de celle-ci.
