M3.7. Etude d'un système masse-ressort.

On se place dans le référentiel galiléen  de repère (Oxyz) orthonormé, direct, de vecteurs unitaires de base . Le dispositif envisagé est constitué d'un ressort R, d'un demi-cercle C et d'une perle P.

Le ressort R est parfait, c'est-à-dire sans masse et développant selon sa propre direction une force proportionnelle à son élongation. On note K ce coefficient de proportionnalité et l la longueur à vide de R. Le demi-cercle C (fixe dans), de rayon a, de centre O, est contenu dans le demi-plan xOy, x > 0, supposé vertical, Ox étant la verticale descendante.

La perle P est un objet quasi-ponctuel de masse M astreint à se déplacer sans frottement sur C. Le ressort R a une extrémité liée à P et l'autre à un point Ω situé aux coordonnées x = - a, y = 0, z  = 0.

La position de P dans  est repérée par l'angle θ = , θ  (- π/2, π/2). On note  le vecteur unitaire de OP,   le vecteur unitaire déduit de  par la rotation de + π/2 autour de . Le système est placé dans le champ de pesanteur d'accélération  de valeur g constante.

 

Les expressions vectorielles demandées (questions 1, 3, 4 et 5) seront exprimées dans la base .

 

1.       Donner l'expression du vecteur  en fonction de a et θ.

2.       Donner l'expression du module PΩ  de  en fonction de a et θ  (ou mieux, de θ/2).

3.       Donner l'expression du vecteur tension  du ressort en fonction de a, K, l et θ  (ou mieux, de θ/2).

4.       Soit  la résultante des forces extérieures appliquées à la nasse M. On note N le module de la réaction de C sur P. Donner l'expression des composantes de  en fonction de a, g, K, l, M, N et θ.

5.       En déduire, en fonction des mêmes paramètres à l'exception de  l’expression de l'énergie potentielle Ep dont dérive la force .

6.       Déterminer l'expression des positions d'équilibre θ  = θi, envisageables pour le système.

7.       On veut imposer l'existence d'une position d'équilibre pour une valeur θi ≠ 0 comprise entre 0 et π/2 (ce qui implique par symétrie une position équivalente θi comprise entre 0 et  - π/2). Ecrire les inégalités que cela implique sur les paramètres du problème. 
Donner une interprétation physique de ces conditions.

8.       Les conditions ci-dessus étant réalisées, déterminer la stabilité des équilibres ainsi obtenus.