M3.15. Particule dans une cuvette.

1. Intégrale première du mouvement.

On étudie la masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à :

son poids  ,

la tension ,

la réaction  du support portée par la direction du vecteur  

On applique le théorème de l’énergie cinétique entre un point I où la position angulaire , la vitesse  de la masse et la longueur  du ressort sont supposées connues et le point M.

On a alors :

             

On réarrange les termes de cette équation sous la forme suivante :

             

On exprime maintenant la longueur . Pour cela on écrit le vecteur  sous la forme :

             

La norme de ce vecteur a pour expression :

             

             

             

On obtient finalement :

                (éq.1)

2. Positions d’équilibre.

On dérive par rapport au temps l’équation obtenue :

             

Pour , on obtient :

             

A l’équilibre :  d’où :

             

On peut remarquer que cette équation est vérifiée pour  sans condition particulière à vérifier.

Pour  on a aussi comme solution  où l’angle , compris entre , est donné par :

             

Ces deux dernières positions ont un sens lorsque l’angle  est compris entre  soit :

             

Il apparait donc deux conditions à l’existence de cette position d’équilibre :

             

Si la dernière inégalité ne se trouvait pas vérifier, le ressort serait alors comprimé du fait de la géométrie du système, et le ressort chercherait à faire glisser la perle vers la position angulaire .

Tout cela signifie que l’influence du poids ne doit pas être trop importante devant celle de l’action du ressort pour qu’une position d’équilibre autre que  puisse exister.

3. Etude de la stabilité de la position d’équilibre autre que .

On pose :  

Avec ces relations l’équation différentielle du mouvement (éq.2) :

             s’écrit alors :

             

           

On pose  , avec , que l’on injecte dans l’équation différentielle du mouvement. On obtient ainsi :

             

Comme  on a : , l’équation précédente prend la forme approchée suivante :

             

L’équation d’équilibre  avec les conditions expérimentales proposées donne :

             

Ce premier résultat permet de simplifier l’équation différentielle du mouvement sous la forme :

             

Comme :

             

et que    

L’équation différentielle du mouvement devient alors :

             

Cette équation est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation .

Ce dernier résultat permet d’affirmer que la position d’équilibre étudiée, compte tenu des restrictions concernant son existence, est stable pour le système dans la configuration étudiée.