M3.12. Mouvement d'une particule dans un champ de force en r  ³.

Une particule A (masse m) est soumise de la part d'un centre O à une force F = , k étant une constante, r = OA.

 

1.         Déterminer l'expression de l'énergie potentielle Ep(r), sachant que pour r infini Ep est nul.

2.         Exprimer en coordonnées polaires (r, θ) l'énergie cinétique.

3.         Grace à la projection de la seconde loi de Newton suivant , montrer que .

4.         Montrer que le mouvement suivant r satisfait à l'équation différentielle :   où Em est l'énergie mécanique de A et E_p,eff  un terme énergétique que l'on écrira sous la forme , K’ étant une constante que l'on déterminera en fonction de m, k, r et θ.

5.         Les conditions initiales sont  et . Dans le cas où K' = 0, quelle est la variation de r en fonction du temps ?

6.         On considère le cas général où K’ est différent de zéro. Exprimer en fonction de s = r² l'équation différentielle précédente.  En déduire l'équation différentielle du second ordre à laquelle s satisfait.  Quelle est alors la relation entre r et t en fonction de Em, m, ?

7.         Représenter graphiquement r en fonction de t pour  dans les deux états suivants : l'état lié défini par Em < 0 et l'état libre défini par Em > 0.
Trouver, en fonction de m,  et Em la durée au bout de laquelle A dans l'état lié atteint le point 0.