M3.10. Recherche de positions d’équilibre stables.

On considère un point matériel P de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil inextensible et sans masse, de longueur OP = a, accroché en un point fixe O du repère terrestre.  On considère le référentiel terrestre galiléen.  On considère le champ de pesanteur uniforme :

 = g .  Oz désigne la verticale descendante.  Soit A le point de Oz de cote z = a. Les mouvements de P sont considérés plans et repérés au cours du temps par l'angle θ  = (  ).

Un dispositif approprié fait que le point B situé sur l'axe Oz à la cote b > a exerce sur P une force  centrale de centre B, répulsive, de norme   où k est une constante positive et r la distance entre B et P. Le fil reste tendu et inextensible de longueur a.

Il est à noter que le triangle OPB est  non rectangle.

On pose :  .

1. Quelle est l’unité de λ ?
2. Exprimer la distance r en fonction de a, b, etθ.
3. Déterminer l’équation du mouvement enθ. On l'exprimera sous la forme : .
   Déterminer f(θ) en fonction deθ, λ et r.
4. Ecrire les équations qui déterminent les valeurs θi de θ qui correspondent à d'éventuelles positions d'équilibre.
   Déterminer les conditions sur λ pour qu’une position d’équilibre particulière existe.  Faire apparaître les trois domaines:      

            domaine α  : λ < λ1

                domaine β  : λ1< λ < λ2 

            domaine γ   : λ > λ2,

λ1 et λ2 étant des valeurs qu’on déterminera en fonction de a et b.
Dans quel domaine se situe la situation de l’absence de ?
En déduire, pour ce domaine, la stabilité ou instabilité des différentes des différentes positions d’équilibre existantes.