M3.5. Energie mécanique d’une particule sur une trajectoire elliptique.

Une particule M de masse m décrit la trajectoire elliptique, de demi-axes a et b, de centre O, d’équation :

 

 

où  désignent les vecteurs unitaires dans le repère cartésien Oxy orthonormé.

 

1. Déterminer l’expression de la résultante  des forces agissant sur M.

2. Montrer que cette force dérive d’une énergie potentielle Ep que l’on déterminera en fonction de m, ω et r = OM.

3. En déduire le travail de  lorsque la particule se déplace de M₁ (OM₁ = r₁) à M₂ (OM₂ = r₂).

4. Vérifier le théorème de l’énergie cinétique entre les positions A et B.

5. Vérifier le principe de conservation de l’énergie mécanique de la particule.

6. En déduire la position de M et les instants où l’énergie se répartit en quantités égales sous forme cinétique et sous forme potentielle.