M2.7. Particule sur un cerceau avec frottements visqueux.

1. Equation différentielle.

On étudie le point M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les forces qui s’appliquent sur ce système sont :

             réaction du support

             poids su système

             force de frottement

On applique la seconde loi de Newton :

             

La projection de cette équation suivant  donne :

             

Dans le cas où l’angle  est petit ; on a , d’où :

             

2.a. Expression de Rc.

L’équation différentielle traduit l’existence d’oscillations amorties. Ces oscillations s’arrêtent le plus rapidement lorsque le régime est critique ce qui correspond à une valeur nulle du discriminant de l’équation caractéristique.

             

2.b. Equation horaire.

Dans le cas du régime critique la solution est de la forme :

             

On détermine les constantes d’intégration A et B en utilisant les caractéristiques angulaires du système à l’état initial :

             

D’autre part la vitesse angulaire a pour expression :

             

Comme à t = 0,  on obtient :

             

Finalement :