M2.11. Mouvement d’une bille dans un tube.

Le problème envisage l’évolution d'une bille B, de masse m, quasi-ponctuelle, soumise à la pesanteur et susceptible de déplacements à l'intérieur d'un tube cylindrique mince T, de longueur 2l, effectuant un mouvement caractérisé par une vitesse angulaire ω autour d'un axe contenant son centre O. L’accélération de la pesanteur est , de module g constant, et dirigée selon la verticale descendante.

On note  le vecteur de la position de B dans T à l'instant t, et r = OP la distance OP.
Les grandeurs ro et  caractérisent la position et la vitesse radiale de B à l'instant initial t = 0.
Le tube T est dans le plan horizontal (x, y) et tourne autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire ω constante.

 

A. Les mouvements de la bille B ont lieu sans frottements.

1.        Par application de la seconde loi de Newton dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, établir l'équation différentielle en r du mouvement de B. On travaillera avec la base cylindro-polaire .

2.        Déterminer la solution de cette équation différentielle pour les conditions initiales ro, .

3.        Etablir l'expression du temps τ que mettra B pour sortir du tube T.

4.        Application numérique : Calculer τ pour l = 0,10 m, .

 

B. Les mouvements de la bille B sont soumis à une force de frottement solide de coefficient μ. On a alors, lorsqu’il y a mouvement, la relation suivante :

RT = μ RN

où RN est la norme de la composante normale à la tige de la réaction  et RT la norme de la composante tangentielle suivant la direction de la tige. La réaction peut se mettre sous la forme :  

5.        Etablir l'équation différentielle en r du mouvement de B.

6.        En déduire la loi  liant la vitesse radiale et la position de B pour la condition  en r = 0.

On posera que g >> 2ωv pour résoudre l’équation différentielle obtenue qui n’est pas linéaire.

7.        On constate que B s'arrête à la cote r = r1.

Cette constatation expérimentale permet-elle de justifier l’approximation effectuée en 6 ?

       En déduire l'expression du coefficient de frottement μ en fonction de g,ω, vo et r1.

8.    Application numérique: Calculer μ pour que B s'arrête au bout du tube, avec g = 9,81 m.s-2,

       l = 0,1 m, vo = 0,5 m.s-1, ω = 2 radians.s-1.