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M10.5. Pendule de Foucault.

Enoncé.

On considère un pendule simple constitué d'une masselotte A de masse m = 30 kg suspendue à l’extrémité inférieure d'un filin de longueur l = 67 m. L'autre extrémité est fixée en un point O1 à une hauteur égale à l sur la verticale du lieu de latitude λ.

  1. Déterminer l'équation vectorielle du mouvement.
    On notera la tension sous la forme
    .
  2. Expliciter les équations différentielles du mouvement dans la base du référentiel terrestre (R) locale
    , Oz
    étant la verticale ascendante et Ox l'axe local orienté vers l'est.
    On notera :
    Ω 
    la vitesse de rotation de la Terre autour de l'axe des pôles,
    θ  la colatitude,
    .

En déduire que les équations différentielles du mouvement dans le plan horizontal s'écrivent, en négligeant les mouvements verticaux et en faisant certaines approximations :
 

 

  1. Résoudre le système d'équations différentielles précédent par la méthode complexe en posant
    , sachant qu’initialement
    .
  2. En déduire la durée d'un tour complet du plan d’oscillation de ce système.
    Application numérique pour λ = 0°, λ = 43°35' et λ = 90°.

 

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M10.5. Pendule de Foucault.

Corrigé.

1. Equation vectorielle du mouvement.

On étudie le mouvement de masselotte A dans le référentiel terrestre (R) non galiléen qui est soumise à :

*     son poids  (la force d’inertie d’entraînement due au caractère non galiléen du référentiel terrestre est incluse dans le poids de la masselotte A, cependant on ne tient pas compte de l’effet de cette force sur la direction du poids, seul est pris en compte la différence entre la valeur du champ de pesanteur et celle du champ de gravitation)

*     la tension  du fil

*     la force d’inertie de Coriolis  où  est la vitesse de la masse dans le référentiel terrestre.

La relation de la dynamique s’écrit :

             

             

2. Equations différentielles du mouvement.

On effectue la projection de l’équation vectorielle du mouvement dans la base du référentiel terrestre :

             

             

 

Si l’on néglige les mouvements verticaux on a :

             

D’autre part :

             

On obtient alors d’après (3) que  

Dans l’équation (1) le terme  est alors peu différent de  

Les équations (1) et (2) peuvent alors s’écrire :

           

             

En posant  on aboutit aux équations proposées dans l’énoncé :

             

On peut remarquer qu’à l’équateur on a  et que l’effet de la force de Coriolis est nulle compte tenu des approximations effectuées.

 

3. Résolution des équations différentielles.

Pour ce système d’équations différentielles couplées on utilise la méthode de la variable complexe en posant :

             

En effectuant l’opération (4) + j(5) on obtient :

             

Soit en fonction de la variable complexe :

             

On recherche des solutions de la forme  avec r complexe ce qui conduit à l’équation caractéristique :

             

Le discriminant réduit à pour expression :

             

Les solutions sont :

             

Comme  les solutions de l’équation caractéristique peuvent s’écrire :

             

La variable complexe s’écrit alors :

 

 

Pour calculer les deux constantes d’intégration on calcule dans un premier temps la dérivée temporelle de la variable complexe :

             

Comme à la date t = 0 on a :

 

 

On obtient ainsi :

             

Et finalement :

             

Le développement de la variable complexe  permet d’obtenir par identification les expressions de x et de :

             

4. Calcul d’un tour complet suivant la latitude.

Le terme  qui est présent dans l’expression de la variable complexe représente une rotation du plan d’oscillation du pendule autour de l’axe vertical Oz avec une vitesse angulaire .

La période T de rotation de ce plan s’écrit :

             

 

 

 

 

 

                                                                         

 

 

 

 

 
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hubert de haan  \  www.kholaweb.com  \  mise à jour : 25 juin 2011