M1.2.
Mouvement d'un point matériel sur une courbe
hélicoïdale.
Enoncé.
On
considère un cylindre circulaire droit de rayon r
= cste et de hauteur 2πr,
auquel est lié un repère orthonormé direct Oxyz
: Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy
est la base inférieure horizontale. La face latérale
porte un tube mince de forme hélicoïdale HB
dans lequel se déplace un petit objet M de
masse m assimilable à un point matériel. La
définition paramétrique de la trajectoire de M
est:
x = rcosθ
y = rsinθ
z = r(2π
- θ) avec 0 <
θ <
2π.
Le point
H correspond à θ =
0 et le point B à θ =
2π.
1.
Calculer, en fonction de
θ(t) et de ses
dérivées, l'accélération de M en coordonnées
cartésiennes.
2.
Calculer, en fonction de
θ(t) et de ses
dérivées, l'accélération de M en coordonnées
cylindriques.
M1.2. Mouvement d’un point matériel sur une
courbe hélicoïdale.
Corrigé.
1. Accélération en coordonnées cartésiennes.
Le vecteur position s’écrit :
.
Les vecteurs de base sont constants au cours du
temps, leur dérivée par rapport au temps est nulle.
On a alors :
2.
Accélération en coordonnées polaires.
Le vecteur position s’écrit :
Les vecteurs de base
ne sont pas constants au cours du temps. On
a alors avec r constant :
