EM8.1. Champ magnétique en un point du
plan d'une spire.
Enoncé.
Une spire circulaire de centre
O, de rayon a et d'axe (Oz) est
parcourue par un courant d'intensité I. Un
point courant P de la spire est repéré par
l'angle 
que fait le vecteur
avec l'axe (Ox) de référence.
1. Montrer que la composante
Bz du champ magnétique créé en un point M
de l'axe (Ox) très éloigné de la spire (a/x
<< 1) s’écrit :
2. Effectuer un développement
limité en u de l'intégrale et obtenir la
partie principale du champ
. Vérifier que ce champ est bien celui créé par un
dipôle magnétique au même point.
EM8.1. Champ magnétique en un point du
plan d'une spire.
Corrigé.
1. Expression de la
composante Bz du champ magnétique.
Le plan contenant le point M
et perpendiculaire à l’axe Oz est un plan de
symétrie de la distribution de courants, le champ
magnétique
engendré est donc perpendiculaire à ce plan (Oxy)
en M. Soit :
On utilise la loi de Biot et
Savart :
Or :
On pose :
On obtient pour
l’expression suivante :
2. Développement limité.
Soit
or u << 1 d’où :
En se limitant aux termes en
on obtient :
Comme
on obtient :
On obtient ainsi une nouvelle
expression du champ magnétique :
avec
Cette expression est celle du
champ magnétique créé par un dipôle, orienté suivant
Oz, en un point M de l’axe
Ox ce qui correspond en coordonnées sphériques à
et pour lequel
.
Champ créé par un dipôle :
