EM6.2. Champ magnétique en un point du plan d'une spire.

Enoncé.

 

Une spire circulaire de centre O, de rayon a et d'axe (Oz) est parcourue par un courant d'intensité I. Un point courant P de la spire est repéré par l'angle  que fait le vecteur  avec l'axe (Ox) de référence.

 

1. Montrer que la composante Bz du champ magnétique créé en un point M de l'axe (Ox) très éloigné de la spire (a/x << 1)  s’écrit :

 

2. Effectuer un développement limité en u de l'intégrale et obtenir la partie principale du champ .

 

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EM6.2. Champ magnétique en un point du plan d'une spire.

Corrigé.

 

1. Expression de la composante B_z du champ magnétique.

Le plan contenant le point M et perpendiculaire à l’axe Oz est un plan de symétrie de la distribution de courants, le champ magnétique  engendré est donc perpendiculaire à ce plan (Oxy) en M. Soit :

           

On utilise la loi de Biot et Savart :

           

Or :

           

           

On pose :

           

On obtient pour  l’expression suivante :

           

2. Développement limité.

Soit   or u << 1 d’où :

           

En se limitant aux termes en  on obtient :

           

Comme  on obtient :

           

On obtient ainsi une nouvelle expression du champ magnétique :