EM5.4. Mouvement d'un proton dans un liquide.
On étudie le mouvement horizontal d'un proton dans un
liquide sursaturant (des bulles de gaz se créent au passage du proton et
matérialisent sa trajectoire).
Un proton de masse m et de charge e,
considéré comme un point matériel, a une vitesse initiale
en un point fixe O; il est dans une région de
l'espace où règne un champ magnétique uniforme et constant
; le liquide exerce sur ce proton une force
de frottement fluide
où k est une constante positive et
est la vitesse du proton à l'instant de
date t.
Par la suite, on posera : ω
=
et τ =
.
1.
Faire le bilan des forces exercées sur le proton se déplaçant dans le
liquide (on négligera le poids du proton).
Etablir l'équation différentielle vectorielle du mouvement du proton.
On désigne par Oxyz un trièdre orthogonal direct
lié au référentiel galiléen et par
la base de vecteurs unitaires qui lui est associée.
On choisit :
2.
Si la force de frottement était négligeable, quelle serait la
variation d'énergie cinétique
du proton ?
Rappeler,
avec un minimum de calculs, quelle serait alors la trajectoire du proton (on
donnera les caractéristiques de cette trajectoire).
3.
Qualitativement, quelles sont les modifications apportées par la
force de frottement fluide sur cette trajectoire ?
4.
Montrer que l’équation différentielle de la question 1. peut se
mettre sous la forme de deux équations différentielles :
Déterminer a
et b.
On pose j le nombre complexe tel que j2 = - 1 pour résoudre le système d'équations différentielles, on
introduit le complexe :
.
5.
Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes à une équation
différentielle dont la solution est :
En déduire
et
.
6.
Déduire de
l'expression de
en fonction de a, b, vO
et t.
7.
Déterminer la limite, notée
, de
lorsque t tend vers l'infini.
8.
En déduire la position limite
∞ (x∞,
y∞)
en fonction de ω et τ
.
9.
Donner l'allure de la trajectoire.
