EM. 5.2. Actions d’un champ magnétique et d’une
force de frottement.
Enoncé.
Une particule de masse m
et de charge q > 0 est soumise à l'action
d'un champ magnétique
uniforme et constant. Elle se déplace dans un liquide
et du fait des interactions avec ce liquide subit
une force de frottement
, où
est la vitesse de la particule par rapport au
référentiel du laboratoire.
A l'instant t = 0, elle
se trouve à l'origine du repère Oxyz avec une
vitesse
.
- Déterminer la position
MΩ de la
particule lorsque t tend vers l'infini.
On pose τ =m/λ
et ω =qB/m.
- On repère la particule
dans le plan xOy grâce à des coordonnées
polaires : la distance r = MΩM
et l'angle
Déterminer l'équation polaire r(θ)
de la trajectoire de la particule. Représenter
cette trajectoire.
EM.5.2. Actions d’un champ magnétique et d’une force
de frottement.
Corrigé
1.
Position MΩ.
On
étudie la particule M dans le référentiel
terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à la
force magnétique et à la force de frottement. On
néglige l'effet de la pesanteur devant ces deux
forces. La relation de la dynamique appliquée à la
particule permet d'écrire :
CComme le
mouvement est contenu dans le plan xOz, la
projection de l'équation vectorielle suivant les
vecteurs unitaires de la base du repère (Oxyz)
donne :
On
obtient les équations différentielles suivantes :/p>
On
intègre ces trois équations différentielles en
tenant compte des conditions initiales :
La
résolution de la dernière équation différentielle
donne z =Kexp-t/τ
= 0 en tenant des conditions initiales.
La seule
force qui travaille au cours du mouvement de la
particule est la force de frottement dont le travail
est négatif. L'énergie cinétique de la particule
décroît et sa vitesse tend donc vers une valeur
nulle. On a donc pour :
On
obtient :
En définitive :
2.
Equation polaire.
En
coordonnées polaires :
L'intégration de la relation fondamentale de la
dynamique donne :
Pour t
infini, cette équation s'écrit :
En
faisant la différence entre ces deux dernières
équations, on obtient :
Soit en
exprimant le vecteur position :
En
identifiant terme à terme, on aboutit au système :
Par
intégration on obtient :
On détermine K en posant
qu'à la date t = 0, la particule se trouve à
l'origine du repère, c'est à dire par rapport au
point MΩ aux
coordonnées
. On a donc :
On
obtient finalement :
Ce
résultat est l'équation polaire d'une spirale
logarithmique.
