EM4.3. Etude de distributions linéiques.

 

On considère un segment AB, de milieu O porté par l'axe Oz, de longueur 2l portant une charge uniformément répartie avec la densité linéique λ.

 

1.        Déterminer le champ électrostatique en un point M du plan médiateur du fil. On donnera le résultant en fonction de l et de r = OM.

2.        En déduire la limite du champ lorsque l tend vers l'infini.

3.        Retrouver le résultat de la question 2) en appliquant le théorème de Gauss.

4.        Dans le cas du fil infini, déterminer à partir du résultat de la question 3) l'expression du potentiel électrostatique en un point M quelconque.

 

On considère deux fils rectilignes infinis, parallèles à l'axe Oz et d'équations cartésiennes respectives : x = + a et x = - a, de charges linéiques uniformes +λ et -λ (λ > 0). On note A1 et A2 leurs intersections respectives avec le plan xOy.

Le point M sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r,θ, z) et on notera r1 et r2 les distances respectives entre M et le premier fil d'une part, et M et le second fil d'autre part. L'origine des potentiels est choisie en O.

 

5.        Déterminer l'expression du potentiel en M.

 

On fait tendre a vers zéro, tout en maintenant le produit 2aλ constant. On obtient une ligne dipolaire, caractérisée par la constante

K = λa/πεo.

On considère que la distance r du point M à l'axe Oz est très grande devant a.

 

6.        Déterminer le potentiel crée par la ligne en M. On se contentera d'un développement limité de l'ordre en a/r non nul le plus petit possible.

7.        En déduire les composantes du champ dans la base cylindrique.