EM4.3. Etude de
distributions linéiques.
1. Champ en un point M
du plan médiateur.
Le plan contenant le segment
chargé AB et le point M est un plan de
symétrie de la distribution des charges. Il en va de
même pour le plan contenant le segment OM et
qui est perpendiculaire à Oz.
Le champ
électrostatique au point M doit simultanément
appartenir à ces deux plans, il a donc pour
direction l’intersection de ces deux plans. D’où :

Par ailleurs, il y a invariance
par rotation autour de l’axe Oz.

Soit

le champ créé en M par un élément de longueur
dl du segment AB :


Seule la composante suivant

donnera une contribution non nulle au champ total en
M :

On exprime les différentes
variables en fonction de la variable

:

D’où :

L’angle

varie entre

et +

lorsque le segment est balayé du point A au
point B. L’intégration entre ces deux valeurs
angulaires permet de déterminer l’expression du
champ électrostatique au point M :

2. Cas où l tend vers
l’infini.
Comme

pour r fixé, le champ s’exprime alors sous la
forme :

3. Théorème de Gauss.
Quand le fil est infini, on a
en plus des propriétés décrites à la question 1, une
invariance par translation parallèlement à l’axe
Oz, donc :


On applique le théorème de
Gauss :

On choisit alors comme surface
de Gauss un cylindre fermé, d’axe Oz, de
hauteur h et de rayon r. La surface
latérale de ce cylindre passant par le point M
où l’on désire déterminer le champ électrostatique.

La charge électrique contenue
dans cette surface fermée est :

Le théorème de Gauss permet
d’écrire que :

Remarque : Dans ce cas
de géométrie de la distribution de charges, on peut
appliquer le théorème de Gauss car on connait en
chaque point de la surface de Gauss choisie l’angle
que fait le vecteur champ

et le vecteur

. Cela n’est pas le cas de la première distribution où
la direction du

n’est connue que pour les points du plan
perpendiculaire au segment et passant par son
milieu. Cette restriction rend alors inutilisable le
théorème de Gauss car on ne trouver de surface
fermée où l’on connaisse en tous points la direction
de ce champ électrostatique.
4. Potentiel.
Pour déterminer le potentiel
électrostatique, on utilise le fait que le champ
électrostatique dérive d’un potentiel.

Remarque : Le calcul
direct du potentiel avec l’expression

ne peut s’effectuer dans ce cas car la distribution
étudiée est d’extension spatiale non finie ce qui
conduit à la divergence du résultat.
5. Potentiel en M.

On applique le principe de
superposition :

En O :

par hypothèse. On obtient :

6. Potentiel créé par la
ligne dipolaire.
On se place dans le plan z = 0
et on recherche les distances

et

:

De même :

Pour r >>a :

Le potentiel s’écrit alors :

7. Composantes du champ.
