EM3.8. Champ au voisinage de l’axe d’un cerceau uniformément chargé.

Enoncé

Un cerceau, de rayon R, de centre O, porte la charge linéique λ uniforme.

 

1.        Déterminer l’expression du champ électrostatique créé par le cerceau en un point M de son axe Oz.

2.        On se propose de calculer maintenant le champ au voisinage de l’axe du cerceau.

       En utilisant une surface de Gauss ayant la forme d’un petit cylindre d’axe Oz, de rayon r et de longueur dz et en posant que E_z(r,z)  E_z(axe) pour un point proche de l'axe, montrer que la composante radiale du champ est liée à la valeur du champ sur l’axe par :

       Déterminer  en un point proche de l’axe.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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EM3.8. Champ au voisinage de l’axe d’un cerceau uniformément chargé.

Corrigé.

 

1. Champ électrostatique en un point de l’axe de l’anneau.

Les plans contenant l’axe Oz sont des plans de symétrie de la distribution des charges ; en un point M de cet axe, la direction du champ électrostatique doit appartenir à chacun de ces plans donc à leur intersection :

             

             avec  

             

Or :  d’où :

             

Comme le plan contenant le cerceau est lui aussi un plan de symétrie de la distribution des charges on a, en un point M’ symétrique de M  par rapport au cerceau :

             avec  

Au final, on obtient pour un point quelconque de l’axe du cerceau :

             

 

 

2. Champ en un point proche de l’axe.

On travaille en coordonnées cylindriques.

Pour un point M quelconque de l’espace, le plan contenant ce point M et l’axe Oz est un plan de symétrie de la distribution des charges. Le champ est donc contenu dans ce plan. D’autre part comme il y a invariance de la distribution des charges par rotation autour de l’axe Oz on peut alors écrire le champ électrostatique sous la forme :

             

Pour déterminer le champ, on utilise le théorème de Gauss et on choisit comme surface fermée un cylindre de génératrice l’axe Oz, de longueur dz et de rayon r.

 

 

A l’intérieur de la surface de Gauss il n’y a pas de charges d’où :

        

Comme le point M considéré est très proche de l’axe on fait l’approximation suivante :

        avec  pour  

D’autre part comme la longueur dz du cylindre est élémentaire, on peut considérer que :

        

On développe l’intégrale double :

        

Après simplifications et en remarquant la présence de la différentielle de la fonction  on obtient :

        

Pour un point M de l’axe on peut maintenant écrire le champ électrostatique sous la forme :