EM3.1. Atome d'hydrogène.
Enoncé.
On considère une distribution de charge à symétrie
sphérique de centre O. Le potentiel en un
point M de l'espace est :
avec OM = r.
1. Déterminer le champ
électrostatique en ce point M.
2. Calculer le flux du champ à
travers une sphère de centre O et de rayon
r. Faire tendre successivement r vers 0,
puis vers +∞.
Conclure.
3. Déterminer la densité volumique
de chargeρ.
4. Etudier la fonction
. Que représente cette fonction?
5. La distribution étudiée est en
fait un atome d'hydrogène. Discuter.
EM3.1. Atome d'hydrogène.
Corrigé.
1. Champ électrostatique.
Comme
le vecteur champ électrostatique est l'opposé du
gradient du potentiel V et qu'il ne
dépend que r (la distribution étant à
symétrie sphérique) on obtient :
2. Flux du champ.
Le
flux du champ électrostatique est défini par :
Comme
la composante du champ est radiale et constante sur
une sphère de rayon r :
L'étude des limites donne :
pour
r tendant vers 0
Φ =
0
pour r tendant vers l'infini.
D'après le théorème de Gauss, la charge intérieure à
une sphère de rayon r à pour expression :
.
On
peut donc conclure que la charge totale de la
distribution est nulle et qu'au point O on a
une charge ponctuelle positive q.
3. Densité volumique de
charge.
La
charge contenue entre les sphères de centre O et de
rayon r et r + dr est:
On
obtient alors :
Cette
densité de charges est négative et a une charge
totale -q.
4. Fonction
La
fonction étudiée est la densité radiale de charges
et passe par un extremum en r = a.
5. Atome d'hydrogène.
La
distance a est le rayon de Bohr qui est la
distance au noyau pour laquelle la probabilité de
présence de l'électron est maximale.
