1. Champ électrostatique en O.

L’axe Oz est axe de symétrie de la distribution des charges. Le champ en O est donc porté par cet axe.

On considère un élément de surface de la demi sphère centré en un point P. Le champ électrostatique élémentaire créé par cet élément au point O de l’axe Oz a pour expression :

             

 

Seule la projection de ce vecteur sur l’axe Oz contribue au champ au point O :

             

 

La composante du champ en O s’écrit :

             

           

2. Champ électrostatique en M.

L’axe Oz est axe de symétrie de la distribution des charges. Le champ en M est donc porté par cet axe.

On considère un élément de surface de la demi sphère centré en un point P.

Le champ électrostatique élémentaire créé par cet élément au point M de l’axe Oz a pour expression :

             

 

Seule la projection de ce vecteur sur l’axe Oz contribue au champ au point M :

             

Or :  et   

D’où :

             

Par intégration :

             

Or :

 

Soit :

             

Posons :

             

Pour :

             

 

 

 

 

On calcule la limite de