E5.9. Double (R,C) série.

Enoncé.

On considère le montage suivant :

 

1.        Déterminer la fonction de transfert du montage.

2.        En utilisant l’expression de la fonction de transfert établir la relation entre les tensions u₁ et u₂.

3.        Etablir directement l’équation différentielle liant les tensions u₁ et u₂. Conclusion.

4.        On considère maintenant le montage suivant :

              Pour t < 0 : interrupteur I fermé.
       Pour t > 0 : interrupteur I ouvert.
       Montrer que la relation entre u₁ et u₂ établie dans la question 2, n’est pas vérifiée.

 

E5.9. Double (R,C) série.

Corrigé.

 

1.  Fonction de transfert du montage.

On utilise la notion de pont diviseur de tension pour déterminer la fonction de transfert du montage :

             

Il est à noter que les polynômes complexes  et  ne sont pas premiers entre eux.

 

2. Relation entre les tensions.

Compte tenu de l’expression de la fonction de transfert on serait amené à écrire, qu’en toutes circonstances, la réponse  à l’excitation  vérifierait la relation :

             

L’objet de cet exercice est de montrer que tel n’est pas le cas, car les polynômes complexes  et  de la fonction de transfert ne sont pas premiers entre eux, ce qui fait « perdre » un ou plusieurs ordres à l’équation différentielle du circuit associée à la fonction de transfert.

Autrement dit, on ne peut passer de la fonction transfert à l’équation différentielle en régime linéaire que si les polynômes complexes  et  de la fonction de transfert sont premiers entre eux

 

3. Equation différentielle du circuit.

L’équation vérifiée par l’intensité du courant dans le circuit est :

             

On obtient ainsi une équation différentielle d’ordre 1 que l’on aurait obtenue si la simplification par  n’avait pas été effectuée dans l’expression de la fonction de transfert.

 

4.  Nouvelle relation entre les tensions.

Pour t < 0 la tension  du fait de la présence d’un interrupteur en position fermée aux bornes de la dérivation. On peut aussi supposer de l’existence d’un régime permanent : le condensateur de gauche a eu le temps de se charger et le courant i circule dans les deux premiers résistors de gauche et dans l’interrupteur fermé. On a donc :

             

En résumé :

             

Pour t > 0, L’équation vérifiée par l’intensité du courant dans le circuit est :

             

             

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

             

Comme il y a continuité de la tension aux bornes d’un condensateur on peut alors écrire :

             

On obtient ainsi :

             

Comme :  d’après la question 3, on obtient alors :

 

La solution de cette nouvelle équation différentielle est la somme de la solution de l’équation différentielle sans second membre de la forme  et d’une solution particulière de la forme  :

             

On reporte cette expression dans l’équation différentielle :

 

On obtient l’expression de D :

             

La continuité de la tension  permet d’écrire que :

             

On obtient finalement :

             

On constate que :

             

 

On peut remarquer que lorsque le régime permanent est atteint on retrouve l’égalité de la question 2 :