E5.9. Double (R,C) série.
Enoncé.
On
considère le montage suivant :

1.
Déterminer la fonction de transfert du
montage.
2.
En utilisant l’expression de la fonction de
transfert établir la relation entre les tensions
u1 et u2.
3.
Etablir directement l’équation différentielle
liant les tensions u1 et u2.
Conclusion.
4.
On considère maintenant le montage suivant :

Pour t < 0 : interrupteur I fermé.
Pour t > 0 : interrupteur I ouvert.
Montrer que la relation entre u1
et u2 établie dans la question 2,
n’est pas vérifiée.
E5.9. Double (R,C) série.
Corrigé.
1.
Fonction de transfert du montage.
On
utilise la notion de pont diviseur de tension pour
déterminer la fonction de transfert du montage :

Il est
à noter que les polynômes complexes

et

ne sont pas premiers entre eux.
2.
Relation entre les tensions.
Compte
tenu de l’expression de la fonction de transfert on
serait amené à écrire, qu’en toutes circonstances,
la réponse

à l’excitation

vérifierait la relation :

L’objet
de cet exercice est de montrer que tel n’est pas le
cas, car les polynômes complexes

et

de la fonction de transfert ne sont pas premiers
entre eux, ce qui fait « perdre » un ou plusieurs
ordres à l’équation différentielle du circuit
associée à la fonction de transfert.
Autrement dit, on ne peut passer de la fonction
transfert à l’équation différentielle en régime
linéaire que si les polynômes complexes

et

de la fonction de transfert sont premiers entre eux
3.
Equation différentielle du circuit.
L’équation vérifiée par l’intensité du courant dans
le circuit est :

On
obtient ainsi une équation différentielle d’ordre 1
que l’on aurait obtenue si la simplification par

n’avait pas été effectuée dans l’expression de la
fonction de transfert.
4.
Nouvelle relation entre les tensions.
Pour
t < 0 la tension

du fait de la présence d’un interrupteur en position
fermée aux bornes de la dérivation. On peut aussi
supposer de l’existence d’un régime permanent : le
condensateur de gauche a eu le temps de se charger
et le courant i circule dans les deux
premiers résistors de gauche et dans l’interrupteur
fermé. On a donc :

En
résumé :

Pour
t > 0, L’équation vérifiée par l’intensité du
courant dans le circuit est :


La
solution de cette équation différentielle est de la
forme :



Comme
il y a continuité de la tension aux bornes d’un
condensateur on peut alors écrire :

On
obtient ainsi :

Comme :

d’après la question 3, on obtient alors :

La
solution de cette nouvelle équation différentielle
est la somme de la solution de l’équation
différentielle sans second membre de la forme

et d’une solution particulière de la forme

:

On
reporte cette expression dans l’équation
différentielle :

On obtient l’expression de D :

La
continuité de la tension

permet d’écrire que :

On
obtient finalement :

On
constate que :

On peut
remarquer que lorsque le régime permanent est
atteint on retrouve l’égalité de la question 2 :
