E5.6. Filtre passe-haut du second ordre.
1. Fonction de transfert.
En utilisant la notion de pont diviseur de tension, on obtient :
Or :
La fonction de transfert s'écrit alors :
2. Courbe de réponse en gain.
Le gain exprimé en décibels a pour expression :
La courbe de réponse en gain admet :
-
en basse fréquence :
une asymptote passant par l'origine de pente + 40 dB/ décade
GBF
= 40 log x = 40 X
-
en haute fréquence :
une asymptote horizontale à GHF
= 0 dB
Le diagramme asymptotique est la réunion des deux asymptotes haute et basse
fréquence limitées à leur point de concours.
La qualité de cette représentation s'évalue en calculant en x = 1
l'écart entre la représentation asymptotique et la réponse en gain :
Cet écart peut prendre une valeur élevée si l'amortissement du circuit est
faible, c'est à dire si le facteur de qualité Q du circuit est grand.
Il faut donc préciser les variations de la courbe de réponse en gain suivant
la valeur du facteur de qualité.
Soit :
Cette fonction passe par un extremum s lorsque sa dérivée s'annule :
On obtient :
pour Q >
.
L'extremum est en fait un maximum de coordonnées pour Q >
:
Dans le cas où Q >> 1, on obtient pour le maximum :
On obtient finalement comme courbe de réponse en gain :
3. Courbe de réponse en phase.
L'argument du dénominateur de la fonction de transfert est donnée par
:
-
pour x = 1
Le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d'entrée est
donné par :
La courbe de réponse en phase passe le point ( X = 0,
π/2 )
et admet :
-
en basse fréquence :
une asymptote horizontale
=π compte
tenu de la valeur en X = 0 et en remarquant que la courbe est
continue en ce point.
-
en haute fréquence :
une asymptote horizontale
= 0.
