T8.9 Résistances thermiques : lois d'associations.

On considère un milieu continu, homogène, isotrope, caractérisé par sa conductivité thermique k.

Ce milieu est contenu dans un cylindre d'axe Ox, délimité par les plans A (x = 0) et B (x = l), et de section S. La surface latérale est parfaitement calorifugée.

Les plans A et B sont mis en contact avec deux sources de chaleur imposant respectivement les températures :  constante (sur le plan A) et  constante (sur le plan B). Après un temps suffisamment long, un régime permanent s'établit ; on désire étudier ce régime permanent.

 

1. Déterminer l'expression de T(x) en fonction de x, ,  et de l.

2. Représenter la fonction T(x), lorsque   =100 °C et  = 0 °C. On précisera la valeur de T(l/2).

3. Exprimer la puissance P qui traversé la base S, orientée par , d'un cylindre de base S, d'axe Ox et de longueur l.

4. On définit la résistance thermique Rh de ce cylindre comme le quotient de (  ) par P. Donner l'expression de Rh et préciser son unité. Justifier le terme : « résistance thermique ».

5. En régime permanent, on considère l'association en série de deux cylindres d'axe Ox et de base S : le premier qui contient un milieu caractérisé par sa conductivité thermique  est compris entre x = 0 et  ; le second milieu, caractérisé par sa conductivité thermique , est compris entre   et .
Déterminer la résistance thermique Rh de l'ensemble des deux cylindres en fonction de , ,  et S.
En déduire la loi d'association en série des résistances thermiques.
Etudier l'association en parallèle des résistances thermiques.
Comparer ces résultats aux lois d'association des résistances électriques.