T8.6. Flux thermique latéral : ailette de refroidissement.

Une tige en cuivre, pleine, cylindrique, d’axe Ox, de longueur infinie, de section droite circulaire de rayon a  est en contact par une de ses extrémités avec un échangeur à la température Te et par sa surface latérale avec un fluide à la température constante To.

Elle joue le rôle d'ailette de refroidissement.

On note λ la conductivité thermique du matériau.

 

A 1'intérieur de la tige :

• On supposera le gradient radial de température suffisamment faible pour considérer que dans la section droite d'abscisse x, la température T(x) est uniforme.
• On posera : T_d(x) = T(x) - To.
• On notera q(x) la quantité de chaleur qui traverse la section droite d'abscisse x, par unité de temps.

Etude du régime permanent : Te = T₁ > To avec T₁  température constante.

 

1.      En utilisant la loi de Fourier, établir que : .

       Quelle est la signification physique de λ ? Quelle est son unité ?

2.      Etablir que :       
h est le coefficient d'échange de chaleur de la surface latérale en Wm^-2 K^-1.

3.      Etablir les deux équations différentielles en q(x) puis en T_d(x).
Donner leurs solutions et représenter x → T(x). Est-il utile que cette ailette de refroidissement ait une longueur infinie ?

 

4.   Quelle est la quantité de chaleur évacuée par unité de temps par cette ailette
Comment 1'augmenter sans modifier a ?

 

5.   Par analogie avec 1'électrocinétique, exprimer la résistance thermique R_th, d'entrée de la tige. T_d est 1'équivalent de la tension U et q est 1'équivalent de 1'intensité du courant électrique.