T2.6. Forces pressantes sur un bol hémisphérique.

On étudie un élément de surface dS de la demi-sphère.

La résultante des forces de pression est :

Or :

D’autre part la pression due à l’eau est donnée par la relation de l’hydrostatique des fluides incompressibles :

La résultante des forces de pression sur l’élément dS s’écrit alors :

La symétrie du système est telle que seule la composante suivant Oz aura une contribution non nulle :

L’élément de surface sphérique a pour expression :

Comme les variables angulaires sont indépendantes, la résultante des forces de pression sur le bol a pour expression :

Les variables z et q  étant liées, on exprime l’intégrale en fonction de la seule variable z. On a :

D’où :

En remplaçant dans l’expression de la résultante et en faisant bien attention aux bornes de l’intégration :

On peut remarquer que la norme de cette force est égale au poids du volume d’eau surplombant le bol.