T1.11. Oscillations isentropiques (adiabatiques et réversibles).

Enoncé.

Un cylindre à parois athermanes, horizontal, séparé en deux compartiments par un piston athermane, mobile sans frottement, contient à l'état initial une mole de gaz parfait (Po, Vo, To) de chaque côté.

A l’instant t = 0, l'opérateur écarte le piston de sa position d'équilibre de x_o faible devant la longueur d’un compartiment l_o (V_o = l_os).

Dans le cas d’une évolution adiabatique, réversible d’un gaz parfait avec γ constant on a la relation : .

 

En appelant, à l'instant t, x la coordonnée de position du piston, exprimer, en supposant les transformations réversibles :

 

1. Les pressions instantanées à droite et à gauche du piston et la force qui en résulte.

2. La période des petites oscillations.

 

 

 

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T1.11. Oscillations isentropiques (adiabatiques et réversibles).

Corrigé.

 

1. Pressions.

Comme les gaz, considérés parfaits, sont en évolution adiabatique et réversible et que de plus le coefficient γ est supposé constant, la loi de Laplace est alors applicable. On a alors, compte tenu des conditions initiales :

             

 

On obtient ainsi en remarquant que  :

                         

 

2. Période des petites oscillations.

A une date t, les forces suivantes s’exercent sur le piston de masse m :

             poids du piston

             réaction du cylindre

             force de pression due au gaz présent dans le compartiment gauche du cylindre

 force de pression due au gaz présent dans le compartiment droit du cylindre

 

Le théorème du centre d’inertie, appliqué au piston dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne :

             

 

 

 

 

La projection de cette équation suivant Ox permet d’obtenir la relation :

             

 

Ceci est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de pulsation  et donc de période :