M9.19. Point matériel en contact avec une demi-sphère.

Un point matériel A, de masse m, est astreint à se déplacer, sans frottement, sur la surface intérieure d'une demi-sphère creuse S. Cette surface tourne uniformément, à la vitesse angulaire Ω, autour de son axe de révolution vertical.  Sur la figure, on a représenté le référentiel terrestre noté Ro= Oxoyozo, supposé galiléen, Ozo étant la verticale ascendante, et le référentiel R = Oxyzo invariablement lié à S.

On se propose d'étudier le mouvement de A par rapport à R. Pour cela, on projette les relations vectorielles dans la base de R, et on introduit la quantité  , g étant l’intensité du champ de pesanteur terrestre et ro le rayon de la demi-sphère.

1.    Exprimer, en fonction des coordonnées (x,y,z) de A par rapport à R, de leurs dérivées par rapport au temps (  ) et de Ω : la vitesse d'entraînement de A, son accélération d'entraînement et son accélération de Coriolis qui interviennent dans la composition des mouvements de A par rapport à R et Ro.

2.    Ecrire vectoriellement la loi fondamentale de la dynamique pour A dans son mouvement par rapport à R. En déduire les équations différentielles auxquelles satisfont x, y et z ; on mettra la force de réaction R qu'exerce S sur A sous la forme suivante :   où .

3.        Quelle est, en fonction de z, l'énergie potentielle de pesanteur de A ? On prendra l'origine de l'énergie potentielle à z = 0.

4.        Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle.  L’exprimer en fonction de z sachant que sa référence étant aussi prise en z = 0.

5.        Déduire l'énergie potentielle totale Ep de A. Tracer le graphe de la fonction  dans le cas où  Montrer que  

                                                                                               

6.        Discuter qualitativement la nature des différents mouvements en z, suivant la valeur de 1"énergie mécanique totale Em de A dans R (on se placera uniquement dans le cas où  ).

7.        Pour quelle valeur de l’énergie Em, le point A évolue-t-il en contact avec S dans un plan horizontal ? Quelle est la cote zm correspondante en fonction de ro ?

8.        Ecrire l’équation vectorielle traduisant l’équilibre de A par rapport à R. Interpréter cette condition en introduisant le champ de pesanteur apparent , H étant la projection de A sur l’axe de rotation Ozo. En déduire la cote, à l’équilibre, en fonction de ro. Comparer cette à zm et conclure.