M9.15. Masse sur une tige en rotation autour d’un axe fixe en présence de frottement.

Dans un plan horizontal, on considère deux axes orthogonaux Oxl et Oyl (référentiel galiléen (Rl) d'axes (O,xl,yl,zl).Une tige rectiligne Ox horizontale (référentiel (R) d'axes (O,x,y,z)) est assujettie à tourner autour de l'axe vertical Ozl confondu avec l’axe Oz avec une vitesse angulaire constante ω pour t > 0.

La tige exerce sur M une réaction qu'on notera à priori :

 

 

On posera : (Oxl,Ox) = θ = ωt et OM = x > 0.

 

Il y a frottement entre M et la tige. On note et on admet que le coefficient de frottement dynamique k est confondu avec le coefficient de frottement statique.

 

1. Appliquer la relation fondamentale à M dans (R).
   En déduire à quelle condition sur ω,  M glisse dès que la tige est mise en mouvement , c'est à dire pour t = 0.
2. Déterminer l’expression de R.
3. Donner l'équation différentielle du mouvement en fonction de r et de t. Cette équation est-elle linéaire ?

 

Conditions initiales :

M est lâché à t = 0 sans vitesse relative, avec θ = 0 et OM = xo (xo non nul).