M7.8. Satellite
Hipparcos.
Ce satellite
devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H =
36 000 km. Un problème de mise à feu du moteur d'apogée a laissé Hipparcos
sur son orbite de transfert, son altitude variant entre
et H.
Au cours d'une
révolution, il passe dans la ceinture de Van Hallen. On supposera que cette
ceinture est comprise entre deux sphères de rayon r1
= 8 400 km, r2 = 28 000 km et
de centre celui de la Terre. La ceinture de Van Hallen est constituée de
particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre qui
« aveuglent » les détecteurs d'Hipparcos interrompant ainsi les mesures des
positions des étoiles objets de la mission.
On assimile la
Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6 400 km et de masse
M
et le satellite à un point matériel (S, m). On suppose le
référentiel géocentrique Rgc galiléen. La période de rotation de la Terre
dans ce référentiel appelée jour sidéral vaut T = 86 164 s. On note
G la constante de gravitation, sa valeur numérique n'est pas utile
dans ce problème.
1.
Exprimer la force qui s’exerce sur S.
Montrer que le moment cinétique
en O du satellite est une constante du
mouvement.
En déduire que le mouvement du satellite est plan.
2.
On pose que le mouvement s’effectue dans le plan perpendiculaire à
l’axe Oz et on utilise les coordonnées cylindriques (O,
). Exprimer la quantité
en fonction de Lz
et m.
Quelle est le nom de cette grandeur ?
3.
Montrer que le vecteur excentricité
=
est une constante du mouvement (
étant la vitesse du satellite).
4.
On choisit l'origine de l'angle polaire pour avoir
. Montrer que l'équation de la trajectoire peut se
mettre sous la forme
où e est la norme de
.
En déduire la trajectoire du satellite.
5.
Exprimer et calculer e et p en fonction de h,
H et R.
6.
Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.
7.
Enoncer sans démonstration la troisième loi de Kepler.
8.
Exprimer la période Th de révolution d'Hipparcos en fonction
de T, R, H et h.
Calculer Th en heure.
9.
Déterminer les valeurs numériques des angles
θ1,
θ2
d'entrée et de sortie de
la ceinture de Van Hallen du satellite. On donnera les valeurs comprises
entre 0 et 180°.
10.
Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire
A balayée par
lors d'un passage dans la ceinture de Van Hallen et
correspondant à la période d’inactivité de S.
Pour la question suivante, on prendra
une valeur approchée de A = 200.106
km2.
11.
Déterminer le rapport
en fonction de A et Ae
(aire de l'ellipse) où to
est la durée totale d'inactivité d'Hipparcos sur une période.
Application numérique.
On donne l'aire de l'ellipse:
