M7.6. Mouvement d’un satellite artificiel.

Partie 1.

On considère un satellite de masse m soumis à l'attraction gravitationnelle de la terre supposée, sphérique, de centre O, de rayon R_T, et de masse M_T.

On admettra dans cette partie, sauf dans la question 1.5, que m << M_T : la terre peut donc être considérée comme fixe.

On posera : k = G M_Tm avec G constante de la gravitation universelle.

1.1  Donner l’expression de la force  s’exerçant sur le satellite.

1.2  Montrer que la trajectoire du satellite par rapport à la terre est plane. On pourra faire l'étude en coordonnées cylindriques (r, θ, z) de vecteurs unitaires correspondants  avec  le vecteur unitaire orthogonal au plan de cette trajectoire.

1.3  La trajectoire du satellite est une ellipse d'équation  ou p et e sont des constantes appelées respectivement paramètre et excentricité. L'axe polaire et l’axe focal sont confondus. Déterminer l'expression du paramètre p en fonction de L (moment cinétique par rapport à O du satellite), k et m.

1.4. On nomme périgée (P) le point de la trajectoire elliptique le plus proche de la terre et apogée (A) le point de trajectoire elliptique le plus éloigné de la terre. On note ( r_P et v_P ) et (r_A et v_A) la position et la vitesse du satellite respectivement à son périgée P et à son apogée A.

                        1.4.1.   Calculer l'excentricité e en fonction de r_A et r_P.

                        1.4.2.   Calculer le rapport  v_P/v_A en fonction de e.

Partie 2.

2.1  Déterminer l'expression de l’énergie potentielle Ep(r) du satellite en un point M de la trajectoire tel que . On prendra Ep(∞)= 0.

       On suppose maintenant la trajectoire circulaire et uniforme de rayon r_o et d'énergie mécanique Em constante.
Etablir une relation simple entre l'énergie cinétique Ec et l'énergie potentielle Ep du satellite.

2.2  Le satellite subit des frottements sur les hautes couches de l'atmosphère ; ces frottements sont équivalents à une force de freinage de module f = λmv. Ce freinage est très faible, et on peut supposer que les révolutions restent presque circulaires et que pour chacune d'elle, l'altitude h du satellite diminue de Δh avec Δh << h. L'altitude h est comptée à partir de la surface de la terre : r_o = R_T + h.

2.2.1.  Calculer la variation de vitesse Δv en fonction de Δh et de la période T de révolution.

                        2.2.2.   Justifier l'évolution de la vitesse du satellite.

                        2.2.3.   Exprimer λ en fonction de h, Δh et R_T.

2.3  En remarquant que la perte relative d'énergie mécanique est faible à chaque révolution, calculer le temps τ au bout duquel le satellite s'écrasera sur la terre.

       On fera l'hypothèse simplificatrice que la loi de frottement reste la même pendant toute la chute.

2.4. La trajectoire du satellite peut être décrite dans son plan de trajectoire par l'équation en coordonnées polaires r = r_o exp - αθ .

                        2.4.1.   Exprimer α en fonction de Δh, R_T et h.

                        2.4.2.  Exprimer en fonction de r_o et α la distance D parcourue par le satellite au cours d'une quasi-révolution.  On pourra mettre en évidence ce résultat comme la distance d’une orbite circulaire affectée d'un terme correctif en tenant compte de l'ordre de grandeur de α.