M5.1. Amortisseur dune machine.

La suspension  d'une machine peut être modélisée par un ressort de longueur à vide lo et de raideur k, placé en parallèle avec un amortisseur qui exerce sur la machine de masse m une force de freinage  où  est une constante positive.

La machine ne fonctionne pas et est immobile.  Déterminer la longueur  du ressort. La position de la machine dans ce cas est prise comme origine de l'axe Oz.

1. Le moteur fonctionne, tout se passe alors comme s'il apparaissait une force supplémentaire de la forme:
   
   .
   On pose :
   
   .
   Déterminer l'équation différentielle vérifiée par
   
   .
   
   
2. En régime sinusoïdal établi, on recherche des solutions de la forme :
   
   .
   Déterminer l'expression de la grandeur complexe
   
   .
3. Exprimer
   
    en fonction de
   
   . Donner l'allure de
   
   .
4. La pulsation
   
    vaut 628 rad/s. La machine a une masse m = 10 kg et on dispose de deux ressorts de raideur k = 4.106 N/m et k' =106 N/m.  Lequel faut-il choisir pour réaliser la suspension ?