M4.2. Oscillateurs couplés.
On considère le dispositif suivant où les trois ressorts sont identiques et de constante de raideur k. Les positions des masses m sont repérées par leur abscisse x₁, et x₂ à partir des positions d’équilibre O₁ et  O₂ positions pour lesquelles les ressorts ne sont pas tendus.  On suppose que l'on lâche les masses aux abscisses x_l. et x₂. sans vitesse initiale.

1. Ecrire les équations différentielles du mouvement des deux masses.

2. Chercher à quelle condition portant sur w il est possible d'avoir des solutions de la forme:

   

On posera : .

3. En déduire les deux pulsations propres possibles pour le système et écrire la solution générale du mouvement des deux masses.

4. Quelles sont les solutions x_l(t) et x₂(t) du problème ? En déduire les conditions sur x_1m et x_2m pour que les mouvements des deux masses soient harmoniques et décrire ces mouvements.