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M3.1. Particules chargées sur un plan incliné. |
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On pose
l’énergie potentielle de pesanteur nulle dans le plan horizontal contenant la
particule A et l’énergie potentielle électrique nulle lorsque les
particules se trouvent à l’infini l’une de l’autre. Eppesanteur = Epp = mgh Pour l’énergie potentielle électrostatique, on a en notant x la distance séparant les deux charges et en prenant le zéro de l’énergie potentielle lorsque les charges sont l’infini l’une de l’autre :
L’énergie mécanique du système s’écrit :
On exprime la hauteur de la particule B en fonction de x : h=xsina
La position d’équilibre xe correspond à un extremum du potentiel de la particule B.
Soit :
Le système des deux charges en interaction est supposé conservatif. L’énergie mécanique est donc constante au cours du temps. D’où :
Dans le cas où l’objet B est en mouvement on a :
On pose :
On injecte cette expression dans l’équation différentielle :
En exprimant xe, on obtient :
La solution de cette équation est de la forme :
La particule B oscille autour de la position xe. Cette position d’équilibre est donc stable.
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où 
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