M2.3. Mouvement d'une sphère dans un liquide.

1. Équation portant sur v(t).

On étudie la pièce sphérique dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Ce système est soumis, à l'intérieur du bassin,
à trois forces :

• son poids : 

• la poussée d'Archimède :  

• la force de viscosité :

La relation de la dynamique s'écrit :

La projection suivant l'axe Oz orienté verticalement vers le bas donne :

La solution de cette équation est :

Le second terme de l'expression précédente correspond à la valeur de la vitesse limite car le terme est positif, ce qui implique que pour toute date est égal à la valeur de la vitesse. On obtient :

Comme à t = 0, on a :

 

 

 

2. Loi z(t).

 

 

3. Durée de chute.

A la date T, z(T) = h - 2a,  d'où :

En opérant un développement limité à l'ordre 2 :

On obtient en réorganisant suivant les puissances de T :

 

T = 0,55 s.