M11.9. Expérience de
Rutherford.
1. Mouvement plan.
On applique le théorème du
moment cinétique en O à la particule alpha
qui est soumise à la force électrostatique de
Coulomb qui est centrale en O. On a alors :
est ici a priori le vecteur radial de la base
sphérique.
Le vecteur moment cinétique de
la particule alpha
est une constante du mouvement. Ce vecteur occupe
donc dans l’espace une direction. Le vecteur
position est alors à tout instant perpendiculaire à
cette direction fixe : le mouvement de la particule
alpha s’effectue dans un plan qui est défini
par les conditions initiales. On adopte comme plan
d’étude le plan xOy et on travaille avec les
coordonnées polaires.
2. Expression de la
constante de la loi des aires.
On exprime le moment cinétique
de la particule à la date d’éjection et ensuite à
une date quelconque :
La constante C de la loi
des aires est définie par :
. On obtient :
3. Nature de la trajectoire.
La force s’exerçant sur la
particule alpha a pour expression :
On applique la relation de la
dynamique à cette particule dans le référentiel du
laboratoire supposé galiléen et on utilise de plus
la seconde formule de Binet relative à
l’accélération en posant :
.
Les solutions de cette équation
différentielle en u sont de la forme :
Soit :
La solution s’écrit alors :
Le résultat trouvé est celui de
l’équation d’une hyperbole de paramètre
et d’excentricité e=Ap.
4. Conservation de l’énergie
mécanique.
En dehors de la zone
d’interaction, c’est-à-dire pour un éloignement
infini du noyau et de la particule alpha,
l’énergie potentielle électrostatique est nulle et
l’énergie mécanique du système se réduit à l’énergie
cinétique de la particule alpha. On alors :
La valeur de la vitesse en
dehors de la zone d’interaction est constante.
5. Angle de diffusion.
La relation de la dynamique
s’écrit :
On effectue une projection
suivant le vecteur
:
Or
et soit
. On obtient :
Or :
On obtient ainsi l’expression
de la composante de la vitesse suivant Oy :
A l’infini :
