M10.2. Déviation vers l'est lors d'une chute libre.
Enoncé.
Dans
cet exercice on tient compte de la rotation de la Terre autour de son axe mais
pas du mouvement de son barycentre. On considère le
référentiel barycentrique comme galiléen.
Un
objet de masse m est lâché d'une altitude h
sans vitesse initiale.
1.
Dans quel sens est dirigée la force de
Coriolis? Cela dépend-il de l'hémisphère ?
2.
Déterminer la valeur maximale de la vitesse
pour que la valeur de la force de Coriolis soit
inférieure à 1 % à celle du poids de l'objet.
3.
Déterminer les équations différentielles du
mouvement.
Quels termes dans ces équations
peuvent-être négligés compte tenu du fait que les
objets en chute libre n'atteignent pas cette vitesse
précédemment déterminée ?
4.
Déterminer l'expression de la déviation vers
l'est en fonction de la hauteur de chute et de la
latitude λ.
M10.2. Déviation vers l'est lors d'une chute libre.
Corrigé.
1.
Sens de la force de Coriolis.
La
force d'inertie de Coriolis a pour expression :
est
la vitesse du point matériel dans le référentiel
terrestre non galiléen.
Dans
le cas où la vitesse de ce point est située dans le
plan yOz, la force d'inertie de Coriolis
s'écrit :
Cette
force est dirigée vers l'est indépendamment de
l'hémisphère.
2.
Valeur maximale de la vitesse.
On
désire que :
On se
place dans le cas où le sinus de l'angle entre les
vecteurs rotation et vitesse est maximal (autrement
dit, on se place à l'équateur où l'effet de la force
de Coriolis est maximal) :
3.
Hypothèses simplificatrices.
Dans
la base du repère d'espace Oxyz, les
composantes de la force de Coriolis sont :
Comme
la vitesse de chute de l'objet n'atteint pas cette
valeur, on peut donc affirmer que l'objet ne
s'écarte que peu d'une trajectoire verticale. On a
donc :
D'où
:
4.
Déviation vers l'est.
On
applique la relation de la dynamique dans le
référentiel terrestre non galiléen (la force
d’inertie d’entraînement est comptabilisée dans le
poids de l’objet) :
La
projection dans la base du repère Oxyz donne
:
La
double intégration de la première équation
différentielle conduit à :
Celle
de la troisième à :
Lorsque l'objet arrive au sol, une bonne estimation
de sa déviation vers l'est est :
