EM6.8. Solénoïde de section carrée.

Enoncé.

Une spire parcourue par un courant continu d'intensité I a la forme d'un carré ABCD de côté AB = 2a. Soit M un point de Oz, axe de symétrie de la spire, normal au plan de celle-ci. On montre que le champ magnétique  en M s'exprime en fonction de l'angle  sous lequel on voit de M une demie-diagonale telle que OA par :

 

Un solénoïde d'axe Oz est constitué d'un grand nombre de spires identiques à la précédente réparties uniformément le long de Oz au nombre de n par mètre.

1. Donner une expression du champ magnétique en un point de l'axe en fonction de n, I et des valeurs
   
    et
   
    de l'angle
   
    défini plus haut relatives aux faces terminales du solénoïde (
   
    ).
   On donne :  
   
2. Donner l'expression de
   
    en un point situé sur une face d'un solénoïde du type précédent tel que
   
   .
3. Quelle est l'expression de
   
    loin des faces du très long solénoïde précédent ?
   Comparer celle-ci à celle obtenue pour un solénoïde de section circulaire.
   Le résultat était-il prévisible ?
4. Déterminer l'expression du champ magnétique en tout point de l'espace dans le cas d'un solénoïde infini.

 

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EM6.8. Solénoïde de section carrée.

Corrigé.

 

 

1. Expression du champ.

 

On considère une « collection » de spires comprises entre les cotes z et z + dz  autour d’un point P créant en M un champ magnétique élémentaire d’expression :

             avec  

             

Or :

             d’où  

             

On obtient une nouvelle expression du champ élémentaire :

             

Le champ magnétique s’écrit alors :

             

On effectue un changement de variable en posant :  d’où  

 

 

On obtient ainsi :

             

 

2. Cas où l >> a.

Dans le cas où l >> a  on peut poser que  et que . Avec ces approximations on obtient :

             

3. Champ loin des faces.

Dans ces conditions on peut effectuer les approximations suivantes :

             et   

On obtient alors :

                         

La démonstration relative au solénoïde infini fait intervenir des considérations de symétrie, d’invariance par translation suivant l’axe Oz ¸le théorème d’Ampère et en rien la forme des spires constituant le solénoïde. C’est pour cela que l’on retrouve le résultat classique du solénoïde à spires circulaires.

 

4. Cas du solénoïde infini.

Tout plan perpendiculaire à l’axe du solénoïde est plan de symétrie de la distribution de courants. Cette constatation permet d’affirmer alors qu’en tout point  intérieur ou extérieur au solénoïde le champ magnétique a une direction parallèle à celle de l’axe de ce solénoïde.

Les lignes de champ magnétique sont alors des droites parallèles à l’axe Oz.

D’autre part il y a invariance de la situation physique lors d’une translation le long de l’axe Oz, le champ magnétique garde alors une valeur constante le long d’une ligne champ.

On applique le théorème d’Ampère :

Pour une courbe fermée à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde, il n’y a pas de courants enlacés. On alors :

             

 

Comme  on a .

 

Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur comme à l’extérieur du solénoïde mais pas avec la même valeur. En effet, les spires sont assimilables à une distribution surfacique de courants et il y alors discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique à la traversée des spires.

 

En tout point intérieur au solénoïde on a :   (et cela d’après la question 3 et des résultats précédents). Pour déterminer le champ à l’extérieur on considère un nouveau contour d’Ampère comme indiqué sur la figure suivante :

Le théorème d’Ampère permet d’écrire que :

             

On retrouve bien ainsi la discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique à la traversée d’une nappe de courants.