E6.7. Filtre passe-bande. Décomposition en série de
Fourier.
Les amplificateurs opérationnels (A.O) utilisés sont
idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
Pour les applications numériques on prendra : C
= 680 nF ; R2=R3= 47 Ω ; R=
6,8 kΩ.
On considère le montage suivant :
1. Montrer que la fonction de
transfert
de ce montage se met sous la forme :
.
2. Déterminer la pulsation ωo
de « résonance » du filtre.
Déterminer la bande passante Δω
à- 3 dB ainsi que le facteur de qualité Q
. Calculer Q.
3. Déterminer le diagramme
asymptotique du gain en décibel GdB. Calculer la valeur de l’ordonnée
du point d’intersection des asymptotes.
Donner l’allure de la courbe GdB en fonction de logx où
est la pulsation réduite.
On se propose de déterminer la réponse de ce circuit à
un signal carré d'amplitude E = 10 V, de fréquence f = 1650
Hz.
La tension carrée e(t), fonction
périodique peut être décomposée en série de Fourier :
e(t) = ao
+ a1sin ωt
+ b1cos
ωt + a2sin
2ωt + b2cos
2ωt + . . . . + ansin
nωt + bncos
nωt + . . . .
On donne :
4. Quelle est la valeur de ao?
Que valent les coefficients bn
?
Montrer que :
pour n ≠ 0.
Quelle est
l’amplitude du fondamental (n = 1) ? ; des harmoniques 3 et 5 (n = 3, n =
5) ?
5. Caractériser le signal obtenu en
sortie du filtre : nature, fréquence et amplitude.
