Equations différentielles linéaires.

 

Une équation différentielle est une équation où figurent une fonction inconnue, par exemple y(t), et certaines de ses dérivées.

Une équation différentielle est linéaire en  quand elle est de la forme :

 

 

L’ordre d’une équation différentielle est celui de la dérivée d’ordre le plus élevé, soit ici n.

Si g(t) = 0 on dit que l’équation est sans second membre (ssm) ou homogène.

 

On démontre que la solution générale d’une équation différentielle linéaire est la somme :

• de la solution de l’équation sans second membre  
  
• d’une solution particulière de l’équation avec second membre
  
   de même nature que le second membre.

On a donc : y(t) =  + .

Ce résultat est valable pour toutes les équations différentielles linéaires, quel que soit leur ordre. Les solutions de telles équations ne sont pas uniques mais correspondent à une famille de solutions, elles contiennent un nombre de constantes égal à l’ordre de l’équation.
Dans les problèmes de physique, l’indétermination due à la présence de ces constantes est en général levée du fait qu’il est possible de calculer ces constantes par la connaissance, à un instant donné, des grandeurs étudiées ; cet instant est souvent le début du phénomène étudié : conditions initiales.

On limite l’étude à deux cas particuliers dans ce document.

 

1. Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre constant.

Soit une fonction y(t) qui satisfait à une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme : 

 avec a, b, et c des constantes.

• La solution de l’équation sans second membre est de la forme :
  
  .
  K est une constante.

 

• Pour la solution particulière on recherche une solution qui est une constante car le second membre est une constante. On a alors
  
   = Cte. Comme
  
  , on obtient pour 
  
   en injectant
  
   = Cte dans l’équation différentielle.

 

La solution générale de ce type d’équation est de la forme :

 

La condition initiale  permet de déterminer la constante K :

 

 

2. Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et à second membre constant.

Soit une fonction y(t) qui satisfait à une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme : 

 avec a, b, c et d des constantes.

Pour déterminer la solution de l’équation différentielle sans second membre, on recherche des solutions de la forme . En injectant cette expression dans l’équation homogène, on obtient, après simplification par  l’équation dite « caractéristique » :

 

• La solution
  
   dépend du signe du discriminant
  
   de l’équation caractéristique.
  Trois cas sont envisageables :
  
  
  
  A, B et C sont des constantes.
  
   est la phase.
• Pour la solution particulière on recherche une solution qui est une constante car le second membre est une constante. On a alors
  
   = Cte. Comme
  
  , on obtient pour 
  
   en injectant
  
   = Cte dans l’équation différentielle.

 

La solution générale de ce type d’équation est de la forme :

 

avec  une des trois possibilités évoquées plus haut.

 

Les constantes d’intégration A, B ou C,  qui figurent dans y(t) sont déterminées à partir des conditions initiales portant sur .

 

Remarques :

• Lorsque les trois coefficients a, b et c de l’équation caractéristique sont du même signe, on a alors pour cette équation des racines négatives lorsqu’elles sont réelles ou à partie réelle négative lorsqu’elles sont complexes.
• La détermination des constantes d’intégration apparaissant dans
  
   se fait en utilisant les conditions initiales sur la solution générale y(t) et non sur la solution de l’équation homogène (sauf dans le cas où le second membre est nul).